Институт математики
и фундаментальной информатики СФУ

Повестка заседания:
Доклады по темам выпускных работ бакалавров и магистров кафедры теории функций.

Повестка заседания:
Отчет аспирантов кафедры теории функций ИМиФИ СФУ о работе в весеннем семестре.

Кузнецов Михаил Владимирович (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск)
Субриманов оператор диффузии и геометрический смысл диагональной асимптотики его интегрального ядра

Аннотация:
В настоящем докладе обсуждаются несколько подходов к изучению тепловых инвариантов субримановых многообразий. Наиболее перспективный из них, основанный на некоммутативном преобразовании Фурье, излагается более подробно; он даёт конструктивную процедуру для их вычисления через коприсоединённые орбиты нильпотентной аппроксимации и "линейные" (в некотором специальном смысле) части векторных полей, образующих базис горизонтального распределения. В качестве примера приводятся многообразия, нильпотентной аппроксимацией которых является n-мерная группа Гурса.

Шлапунов Александр Анатольевич, Шефер Юлия Львовна
On the uniqueness theorems for transmissions problem related to models of electrocardiography and elasticity

Аннотация:
We consider a generalization of the inverse problem of the electrocardiography in the framework of the theory of elliptic and parabolic differential operators. More precisely, starting with the standard bidomain mathematical model related to the problem of the reconstruction of the transmembrane potential in the myocardium from known body surface potentials we formulate a more general transmission problem for elliptic and parabolic equations in the Sobolev type spaces and describe conditions, providing uniqueness theorems for its solutions. Next, the new transmission problem is interpreted in the framework of the elasticity theory applied to composite media. Finally, we prove a uniqueness theorem for an evolutionary transmission problem that can be easily adopted to many models involving the diffusion type equations.

Богданов Дмитрий Валериевич (Московский центр технологической модернизации образования )
Нули гипергеометрических полиномов многих комплексных переменных

Аннотация:
В докладе будет дано определение гипергеометрического многочлена нескольких комплексных переменных с носителем в произвольном выпуклом целочисленном многограннике P. В случае, когда многогранник P является Z^n-связным (то есть, когда любые две целые точки P могут быть соединены ломаной со звеньями единичной длины и целочисленными вершинами), данный многочлен определён однозначно с точностью до постоянного множителя.
В докладе будут рассмотрены свойства таких многочленов и, при некоторых предположениях, доказана оптимальность их амёб в смысле Форсберга-Пассаре-Циха.

Элияшев Юрий Валерьевич (Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»)
Теория Ходжа на тропических кривых

Аннотация:
Тропические кривые, которые можно рассматривать как класс метрических графов, являются тропическими аналогами римановых поверхностей. В своём докладе я расскажу о том как построить на таких кривых теорию Ходжа, т.е. как изучать топологию этих многообразий и их когомологии в терминах гармонических форм и оператора Лапласа, и как эта теория соотносится с теорий Ходжа на римановых поверхностях. Возникающие при этом методы основаны на изучении L2-когомологий, неограниченных самосопряженных операторов и подобном функциональном анализе. Следует отметит, что данная область довольно сильно перекликается с тематикой квантовых графов, т.е. изучением уравнения Шредингера на метрических графах. Насколько мне известно, до этого квантовые графы не возникали в тропической геометрии.

Царев Сергей Петрович
Экстраполяция орбит спутников GPS и Глонасс на длительные периоды: sparse polynomial chaos expansions и адаптивные базисы "скрытых переменных"

Аннотация:
В опубликованных в 2017-2020 гг. работах участников проекта (С.П.Царев и соавторы) были развиты новые метода анализа орбит, рассчитываемых и публикуемых ведущими научными центрами глобальных навигационных спутниковых сетей (ГНСС). Разработаны простые методики выявления аномалий (в том числе малых аномалий, ранее не отмечавшихся в публикациях по данной теме). Как показали полученные результаты, в "сложные периоды" (магнитные бури и т.п.) точность публикуемых орбит существенно падает. Также латентность (период от сбора данных до публикации окончательного варианта рассчитанных орбит) составляет 10-15 дней. Кроме того, предлагаемые стандартные алгоритмы использования публикуемых данных не слишком просты и, как мы показали ранее, могут быть сильно упрощены без потери точности.
Другая проблема - предсказание (экстраполяция) уже опубликованных орбит на 10-15 следующих суток.

В докладе будет дан обзор основных проблем в данной области, а также полученные нами новые результаты и план работ на ближайшие годы.
Как оказалось, в данной области весьма перспективно использование созданных недавно новых методов "surrogate modeling" на основе так называемых "sparse polynomial chaos expansions".

Степаненко Виталий Анатольевич
Восстановление локальной группы Ли в канонических координатах

Аннотация:
Конкретизируется алгоритм восстановления групповой операции в канонических координатах первого рода. Для нахождения первой вспомогательной матрицы используется преобразование Лапласа, при этом переменное лаплас-образа должно лежать вне спектра оператора присоединенного представления.
Для групповых переменных и компонент групповой операции получается одна система ОДУ с разными начальными данными. Параметрические решения этих задач Коши продолжаем в комплексную область и, пользуясь формулой А.П. Южакова, исключаем параметры, т.е. получаем (после раскомплексивания) явное задание групповой операции. Из следствий теоремы А.П. Южакова (в силу единственности) получаем формулы однородных слагаемых ряда Шура-Кэмпбелла-Хаусдорфа.
Рассмотрены простые, но содержательные примеры.

Lawton Wayne
Note on Results of Krein and Levin

Аннотация:
Bohr proved that a uniformly almost periodic function f has a bounded spectrum if and only if it extends to an entire function F of exponential type τ (F) < ∞. If f ≥ 0 then a result of Krein implies that f admits a factorization f = |h|^2 where h extends to an entire function H of exponential type τ (H) = τ (F)/2 having no zeros in the open upper half plane. The spectral factor h is unique up to a multiplicative factor having modulus 1. Krein and Levin constructed f such that h is not uniformly almost periodic and proved that if f ≥ m > 0 has absolutely converging Fourier series then h is uniformly almost periodic and has absolutely converging Fourier series. We derive necessary and sufficient conditions on f ≥ m > 0 for h to be uniformly almost periodic, we construct an ≥ m > 0 with non absolutely converging Fourier series such that h is uniformly almost periodic, and we suggest research questions.

Кытманов Александр Мечиславович, Мысливец Симона Глебовна
Голоморфное продолжение функций, обладающих граничным свойством Морера, в область с кусочно гладкой границей

Аннотация:
Проблема голоморфного продолжения функций с границы ограниченной области внутрь этой области является актуальной в многомерном комплексном анализе. Она имеет большую предысторию, начиная с Пуанкаре и Гартогса.

В докладе будут рассмотрены непрерывные функции, заданные на границе ограниченной области D в C^n, n>1 с кусочно-гладкой границей и обладающие обобщенным граничным свойством Морера вдоль семейства комплексных прямых, пересекающих границу области. Свойство Морера заключается в равенстве нулю интеграла от данной функции по пересечению границы области с комплексной прямой. Показано, что такие функции голоморфно продолжаются внутрь области D. Для функций одного комплексного переменного свойство Морера не дает голоморфного продолжения функции, поэтому мы рассматриваем только многомерный случай. Главным методом изучения таких функций является метод многомерных интегральных представлений, в частности интегрального представления Бохнера-Мартинелли.